Relacja pełna

Relacja pełna (relacja całkowita, relacja totalna) – relacja obejmująca wszystkie elementy zbioru, na którym jest rozpatrywana. Relacja binarna na zbiorze $X$ jest relacją pełną, jeśli każde dwa (niekoniecznie różne) elementy zbioru $X$ są w tej relacji.

Definicja

Niech $A_{1},\dots ,A_{n}$ będą dowolnymi zbiorami oraz $A=A_{1}\times \ldots \times A_{n}.$ Relację n-argumentową $\varrho \subseteq A$ nazywa się pełną, jeżeli $\varrho =A.$

Oznacza to, że dla każdych $n$ elementów $(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})\in A$ zachodzi $\varrho (a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}),$ czyli są one ze sobą w relacji $\varrho .$

Własności

• Relacja pełna jest całkowicie wyznaczona przez określenie jej projekcji na wszystkie współrzędne. W szczególności istnieje tylko jedna dwuczłonowa relacja pełna na zbiorze $X$ – jest to $X\times X.$
• Dwuczłonowa relacja całkowita jest zwrotna, symetryczna, spójna, przechodnia. Jest to relacja równoważności o jednej klasie abstrakcji.
• Jeśli zbiór $X$ jest niepusty, to binarna relacja całkowita na $X$ nie jest przeciwzwrotna, antysymetryczna, przeciwsymetryczna.

Zobacz też

• porządek liniowy